Calcolo differenziale ed integrale

Numeri, variabili, funzioni.
Numeri reali. Rappresentazione dei numeri reali con i punti di un asse numerico.
Valore assoluto di un numero reale.
Grandezze variabili e costanti.
Campo di definizione di una variabile.
Variabile ordinata. Variabile crescente e variabile decrescente. Variabile limitata.
Funzione
Modi di esprimere una funzione.
Principali funzioni elementari.
Funzioni algebriche.
Sistema di coordinate polari.

Limite e continuità delle funzioni.
Limite di una grandezza variabile. Grandezza variabile infinita.
Limite di una funzione.
Funzioni tendenti all’infinito. Funzioni limitate.
Infinitesimi e loro proprietà fondamentali.
Teoremi fondamentali sui limiti.
Limite della funzione sin(x)/x per x tendente a 0.
Il numero di Nepero e
Logaritmi neperiani.
Continuità delle funzioni.
Proprietà delle funzioni continue.
Confronto degli infinitesimi.

Derivata e differenziale
Velocità
Definizione di derivata.
Interpretazione geometrica della derivata.
Funzioni derivabili.
Derivata della funzione y=x^n per n intero e positivo.
Derivata delle funzioni y= sen(x) e y=cos(x)
Derivata di una costante, derivata di un prodotto di una costante per una funzione

Derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente.
Derivata di una funzione logaritmica.
Derivata di una funzione composta.
Derivata delle funzioni y=tan(x), y=cotg(x), y=ln(x)
Funzione implicita e sua derivata.
Derivata di una funzione potenza quando l’esponente è un numero reale qualunque.

Derivata della funzione esponenziale e della funzione esponenziale composta.
Funzione inversa e sua derivata.
Funzioni trigonometriche inverse e loro derivate.
Funzioni iperboliche.
Equazioni della tangente e della normale.

Teoremi relativi alle funzioni derivabili.

Teorema relativo alle radici della derivata (teorema di Rolle).
Teorema sugli incrementi finiti. (teorema di Lagrange).
Teorema di Cauchy (rapporto degli incrementi di due funzioni).
Limite del rapporto tra due infinitesimi (vero valore delle forme indeterminate tipo 0/0).
Limite del rapporto tra due quantità infinitamente grandi (vero valore delle forme indeterminate ∞/∞).
Formula di Taylor.
Sviluppo delle funzioni e^x, sen(x), cos(x) mediante la formula di Taylor.

Studio delle variazioni delle funzioni.

Impostazione del problema delle variazioni di una funzione.
Funzioni crescenti e decrescenti.
Massimo e minimo di una funzione.
Schema di studio del massimo e del minimo di una funzione derivabile mediante la derivata prima.
Studio del massimo e del minimo di una funzione mediante la derivata seconda.
Il più grande e il più piccolo valore di una funzione su un segmento.
Applicazione della teoria del massimo e del minimo delle funzioni alla soluzione di problemi.
Studio dei massimi e dei minimi di una funzione mediante la formula di Taylor.
Concavità e convessità delle curve. Punti di flesso.
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.
Schema generale dello studio di una funzione e costruzione del suo grafico.

Numeri complessi. Polinomi
Numeri complessi. Definizioni
Operazioni sui numeri complessi.
Innalzamento a potenza ed estrazione della radice di un numero complesso.
Funzione esponenziale ad esponente complesso e sue proprietà.
Formula di Eulero. Forma esponenziale di un numero complesso.
Scomposizione in fattori di un polinomio.
Radici multiple di un polinomio.
Scomposizione in fattori di un polinomio nel caso di radici complesse.
Interpolazione. Formula di interpolazione di Lagrange.
Formula di interpolazione di Newton.

Integrale Indefinito.

Primitiva ed integrale indefinito.
Proprietà degli integrali indefiniti.
Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti.
Funzioni razionali. Integrazione delle funzioni razionali.
Scomposizione delle funzioni razionali in tratti semplici.
Integrazione delle funzioni irrazionali.
Integrazione di alcune classi di funzioni trigonometriche.
Integrazione di alcune funzioni irrazionali mediante trasformazioni trigonometriche.

Integrale definito.
Integrale definito.
Teorema di esistenza dell’integrale definito.
Proprietà fondamentali dell’integrale definito.
Calcolo dell’integrale definito. Formula Newton-Leibniz.
Sostituzione di variabile nell’integrale definito.
Calcolo approssimato degli integrali definiti.
Calcolo delle aree in coordinate ortogonali.
Lunghezza di un arco di curva.
Calcolo del volume di un solido di rivoluzione.